图像的表示
在计算机（实际上是任何电子产品）中，图像的本质是一个分块矩阵。
$$ \bm{Image} = \left[\begin{matrix} \bm{P}_{11} & \bm{P}_{12} & \cdots & \bm{P}_{1n} \\ \bm{P}_{21} & \bm{P}_{22} & \cdots & \bm{P}_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \bm{P}_{m1} & \bm{P}_{m2} & \cdots & \bm{P}_{mn} \end{matrix}\right] $$其中每个小矩阵 $\bm{P}_{ij}$ 以 $RGB$ 的格式存储了该处的颜色信息。
像素
像素是构成数字图像的最小、最基本的单位。可以把它想象成一块块微小的、带有颜色的“马赛克”或“积木”。
例如，对于这一张图片：
示例图片
当将其放大到一定倍数后，将出现这个情况：
示例图片放大
可以看出，图片变成了一个个排列整齐的色块。我们把这些色块称作像素块。每个像素块对应上述的每个小矩阵 $\bm{P}_{ij}$。它具有以下几个性质：
- 像素块是排列整齐、均匀的正方形区域。
- 每个像素块只能有一种颜色。
由性质2，像素块还可以看作是：图像中不可再分的最小颜色区域。
我们日常生活中常见的图片是 $n*m$ 像素，就表示图片的长有 $n$ 个像素块，宽（或常称作高）有 $m$ 个像素块。其中 $m$ 和 $n$ 分别代表图像矩阵的行数和列数。
由此可见，当 $n$ 和 $m$ 的数值越大，图片可容纳的像素块就越多，表示的信息就越丰富；相应地，占用的存储空间也就越大。
色值
色值表示了像素块储存的颜色信息，目前最流行的色值表示方法为 $RGB$ 色值。
每个 $RGB$ 色值有3个信息位，分别表示 红色（Red）、绿色（Green）、蓝色（Blue），取值范围均为 $[0,255]$ 的整数。相应的数值越大，表明该颜色在总颜色的占比越高。
例如 $[255,0,0]$ 就表示纯红色，$[255,255,255]$ 表示白色，$[0,0,0]$ 表示黑色。所以，上述的每个小矩阵
$$\bm{P_{ij}} = [R,G,B]$$其中 $R$，$G$，$B$ 分别是取值 $[0,255]$ 的整数。
红、绿、蓝是光的三基色，因此将此三种颜色按一定比例混合就可以产生我们可见的所有颜色。
在一些图像处理软件中，$RGB$ 的范围被定义成 $[0,1]$。实际上，这就是 $[0,255]$ 到 $[0,1]$ 上的一个压缩映射。这时，$10$ 就表示 $\displaystyle \frac{10}{255}$；$255$ 就表示 $1$。
$RGB$ 色值还有一种表示方法，即通过
# + 6位16进制数表示。因为10进制的 $[0,255]$ 恰好对应16进制的 $[00,FF]$，所以需要6个数位表示。例如 $\# 000000$ 对应 $[0,0,0]$，$\# FFFFFF$ 对应 $[255,255,255]$。
图像混合
由图像的表示原理可知，所有图像的操作本质上是对像素块的操作。
正片叠底
正片叠底，简单而言就是将两张图像合并为一张图像的过程。具体操作就是取两个图像对应的像素块，对其 $RGB$ 色值分别相乘，再除以 $255$。
定义新运算 $*$ 称为正片叠底运算：
对任意两个图像矩阵 $\bm{I}_1$，$\bm{I}_2$，取其重叠部分，有
$$\begin{align*} \bm{I_1} * \bm{I_2} &= \left[\begin{matrix} \bm{A}_{11} & \bm{A}_{12} & \cdots & \bm{A}_{1n} \\ \bm{A}_{21} & \bm{A}_{22} & \cdots & \bm{A}_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \bm{A}_{m1} & \bm{A}_{m2} & \cdots & \bm{A}_{mn} \end{matrix}\right] * \left[\begin{matrix} \bm{B}_{11} & \bm{B}_{12} & \cdots & \bm{B}_{1n} \\ \bm{B}_{21} & \bm{B}_{22} & \cdots & \bm{B}_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \bm{B}_{m1} & \bm{B}_{m2} & \cdots & \bm{B}_{mn} \end{matrix}\right] \\ \\ &= \frac{1}{255} \left[\begin{matrix} \bm{A}_{11} \cdot \bm{B}_{11} & \bm{A}_{12} \cdot \bm{B}_{12} & \cdots & \bm{A}_{1n} \cdot \bm{B}_{1n} \\ \bm{A}_{21} \cdot \bm{B}_{21} & \bm{A}_{22} \cdot \bm{B}_{22} & \cdots & \bm{A}_{2n} \cdot \bm{B}_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \bm{A}_{m1} \cdot \bm{B}_{m1} & \bm{A}_{m2} \cdot \bm{B}_{m2} & \cdots & \bm{A}_{mn} \cdot\bm{B}_{mn} \end{matrix}\right] \end{align*}$$容易知道，对于运算 $*$，满足以下性质：
- 封闭性：任何两张图像正片叠底后仍是一张图像（这不废话么……）。
- 可结合性：$$(\bm{A}*\bm{B})*\bm{C} = \bm{A}*(\bm{B}*\bm{C})$$ 即多张图像正片叠底，最终效果与正片叠底顺序无关。
- 可交换性：$$\bm{A}*\bm{B} = \bm{B}*\bm{A}$$ 即两张图像正片叠底，最终效果与哪张图像作为底图无关。
- 具有零元 $$ \bm{\theta} = \left[\begin{matrix} \bm{O} & \bm{O} & \cdots & \bm{O} \\ \bm{O} & \bm{O} & \cdots & \bm{O} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \bm{O} & \bm{O} & \cdots & \bm{O} \end{matrix}\right] $$ 其中 $\bm{O} = [0,0,0]$。
即任何一张图像与纯黑图像正片叠底，都将得到纯黑图像。 - 具有幺元（单位元）$$ \bm{e} = \left[\begin{matrix} \bm{E} & \bm{E} & \cdots & \bm{E} \\ \bm{E} & \bm{E} & \cdots & \bm{E} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \bm{E} & \bm{E} & \cdots & \bm{E} \end{matrix}\right] $$ 其中 $\bm{E} = [255,255,255]$。
即任何一张图像与纯白图像正片叠底，都将得到原图像。
因此运算 $*$ 构成一个独异点（雾）。
由性质4和5可知，正片叠底实现了“去白留黑”。
容易看出，图层混合是对图像对应的像素块做相同的操作，定义图层混合运算仅需给出对于像素块的操作。
反色
反色，通俗地讲就是将图像颜色“反转”，也就是每个像素块的颜色都变成 $[255-R,255-G,255-B]$。
定义运算 $!$ 为反色运算，则
$$ !\bm{Image} = \bm{e}-\bm{Image} = [255-R,255-G,255-B] $$特别地，有：
$$!\bm{e} = \bm{\theta} \\ !\bm{\theta} = \bm{e}$$经过反色操作，图像的黑色会变成白色，白色会变成黑色。
滤色
滤色计算公式为：$!((!\bm{A}) * (!\bm{B})) = \bm{e}-(\bm{e}-\bm{A})*(\bm{e}-\bm{B})$
特别地，取 $\bm{B} = \bm{e}$，即与纯白图片滤色，则有
$$!((!\bm{A}) * (!\bm{B})) = \bm{e}-\bm{\theta} * (\bm{e}-\bm{A}) = \bm{e}-\bm{\theta} = \bm{e}$$取 $\bm{B} = \bm{\theta}$，即与纯黑图片滤色，则有
$$!((!\bm{A}) * (!\bm{B})) = \bm{e}-\bm{e} * (\bm{e}-\bm{A}) = \bm{e}-(\bm{e}-\bm{A}) = \bm{A}$$由上述公式可知，滤色实现了“去黑留白”。
变亮&变暗
定义运算 $\mathrm{MAX}$ 为变亮运算，$\mathrm{MIN}$ 为变暗运算。分析每一个像素块，则：
$$ \begin{align*} \mathrm{MAX}(\bm{A}, \bm{B}) &= [\mathrm{max}(R_1,R_2),\mathrm{max}(G_1,G_2),\mathrm{max}(B_1,B_2)] \\ \\ \mathrm{MIN}(\bm{A}, \bm{B}) &= [\mathrm{min}(R_1,R_2),\mathrm{min}(G_1,G_2),\mathrm{min}(B_1,B_2)] \end{align*}$$