1. 尽量上课！
2. 课下完整看完一本书！
3. 做题！

极限与函数

求极限的方法

等价无穷小

重要极限

1. $\displaystyle \lim_{n \to 0} \frac{\sin n}{n} = 1，\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

2. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n} = \mathrm{e}，\lim_{x \to \infty} \left(1+ \frac{1}{x} \right)^{x} = \mathrm{e}$

3. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} a^{\frac{1}{x}} = 1$

4. Cauchy命题：若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = a$，则 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=a$.

5. 泊松定理：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \mathrm{C}_{n}^{k} p^k (1-p)^{n-k} = \lim_{n \to \infty} \frac{(np)^k \mathrm{e}^{-np}}{k!} $

Stolz定理

Stolz 定理也称作离散形式的洛必达法则.

设数列 $\{y_n\}$ 严格单调递增，且 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} y_n = + \infty$，若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}}$ 存在或为无穷大，则

泰勒公式

1. 皮亚诺余项

2. 拉格朗日余项

麦克劳林公式

1. $\displaystyle \mathrm{e}^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^{n})$

2. $\displaystyle \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1})$

3. $\displaystyle \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \cdots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})$

4. $\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \cdot \frac{x^{n}}{n} = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \cdots + (-1)^{n-1} \cdot \frac{x^{n}}{n} + o(x^{n})，\\ (-1<x\leqslant 1)$

5. $\displaystyle (1+x)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{C}_\alpha^n x^{n} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^{2} + \cdots + \mathrm{C}_{\alpha}^{n} x^n + o(x^n)，(|x|<1)$

参见：函数展开成幂级数

讨论极限的存在性

• 单调有界准则

单调递增且有上界的数列必收敛；单调递减且有下界的数列必收敛。

• 利用海涅定理

如果能够选取数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$，使得 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = x_0$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = x_0$，并且 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(a_n)$ 与 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f(b_n)$ 至少有一个不存在，或者都存在但不相等，那么极限 $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在.

• 柯西收敛准则

数列 $\{u_n\}$ 的极限存在 $\Leftrightarrow$ $\forall \varepsilon > 0, \exist N > 0$，使得当 $n > N(\varepsilon)$ 时，对任意的正整数 $p$，有 $| u_{n+p}-u_{n} | < \varepsilon$ 恒成立.

一元函数微分学

求导方法

常用求导公式：

• $(\mathrm{e}^x) ^ {(n)} = \mathrm{e}^x$；

• $\displaystyle (\sin x) ^ {(n)} = \sin (x+n\cdot\frac{\pi}{2})，(\cos x) ^ {(n)} = \cos (x+n\cdot\frac{\pi}{2})$；

• $\displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}，(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}，\\ (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^{2}}，(\mathrm{arccot} x)' = -\frac{1}{1+x^{2}}$

• $\displaystyle [\ln (1+x) ^ {(n)}] = (-1)^{(n-1)} \frac{(n-1)!}{(1+x)^{n}}$；

• $(x^{\alpha})^{(n)} = \alpha (\alpha-1) \cdots (\alpha-n+1)x^{\alpha - n}$，（$\alpha$是任意常数）

微分中值定理

1. 费马定理：如果 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取极值，且 $f'(x_{0})$ 存在，那么 $f'(x_{0})=0$.

2. 罗尔中值定理：如果 $f(x)$ 在$[a,b]$上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且$f(a)=f(b)$，那么至少存在一点$\xi \in(a,b)$，使得$f'(\xi) = 0$.

3. 拉格朗日中值定理：如果 $f(x)$ 在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，那么至少存在一点$\xi \in(a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$.

建立原函数与导函数的关系，关键在于构造辅助函数：

4. 柯西中值定理：如果$f(x)$和$g(x)$在$[a,b]$上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且$g(x)\ne 0$，那么至少存在一点 $\xi \in(a,b)$，使得 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $.

把 $x$ 当作参数，则 $\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} u=f(x) \\ v=g(x) \\ \end{array} \right. $ 可以看作一个参数方程. 其中：
① $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} $ 表示连接参数两端点弦的斜率.
② $\displaystyle \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$ 表示曲线上某点切线的斜率.
柯西中值定理可理解为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，在这一点处的切线平行于连接两个端点的弦.

5. 泰勒中值定理：如果函数 $f(x)$ 在含有 $x_0$ 的某个开区间 $(a,b)$ 内具有直到 $n+1$ 阶的导数，则当 $x \in (a,b)$ 时，$f(x)$ 可表示为： $$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2!} f''(x_0)(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n + R_n(x)$$ 其中 $\displaystyle R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$，$\xi$ 介于 $x_0$ 和 $x$ 之间.

出现二阶及以上导数时可考虑使用泰勒中值定理.

导数的应用

曲线的切线与法线

（在$x_{0}$处）

切线方程：$y-f(x_{0}) = f'(x_{0})(x-x_{0})$；
法线方程：$\displaystyle y-f(x_{0}) = -\frac{1}{f'(x_{0})}(x-x_{0})$.

函数的单调性与极值

1. 充分必要条件：
   设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，那么
   (1) $\forall x \in (a,b)$，$f'(x)>0$，则$y=f(x)$在$[a,b]$上单调递增.
   (2) $\forall x \in (a,b)$，$f'(x)<0$，则$y=f(x)$在$[a,b]$上单调递减.
   

2. 判定方法：
   若 $f(x)$在$x_{0}$处二阶可导，且$f'(x)=0$，$f''(x) \ne 0$. 则当 $f''(x)>0$ 时，$f(x)$在$x_{0}$处取得极小值；当 $f''(x)<0$ 时，$f(x)$在$x_{0}$处取得极大值.

曲线的凹凸性与拐点

设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内二阶可导，那么

1. 若在$(a,b)$内$f''(x)>0$，则曲线$y=f(x)$在$[a,b]$上是凹函数；
2. 若在$(a,b)$内$f''(x)<0$，则曲线$y=f(x)$在$[a,b]$上是凸函数.

曲线的渐近线

1. 若 $\displaystyle \lim_{x \to x_{0}} f(x) = \infty$，则直线$x=x_{0}$是曲线的垂直渐近线；
2. 若 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = A$，则直线$y=A$是曲线的水平渐近线；
3. 若 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k$，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} [f(x)-kx] = b$，则直线$y=kx+b$是曲线的斜渐近线.

曲率与曲率中心

参数方程 $\left\{ \begin{array}{c} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \ \end{array} \right. t \in [a,b]$ 确定的平面曲线的曲率

曲线 $y=y(x)$ 的曲率中心

一元函数积分学

常规积分方法

凑微分法

换元积分法

1. 三角代换

2. 根式代换
   ① 含两个一次平方根式 $\sqrt{x+\alpha}$与$\sqrt{x+\beta}$ $(\alpha < \beta)$，可设

   \[ \sqrt{x+\beta} = \lambda \left(t+\frac{1}{t}\right)， \sqrt{x+\alpha} = \lambda \left(t-\frac{1}{t}\right) \]

   以上两式平方后相减，有$4\lambda^{2} = \beta - \alpha$.
   ② 含两个一次根式 $\sqrt[m]{x+a}$与$\sqrt[n]{x+a}$的积分，可设 $t = \sqrt[k]{x+a}$，这里$k$是$m$，$n$的最小公倍数.
   ③ 对于根式 $\displaystyle \sqrt[m]{\frac{x+a}{x-a}}$，直接设 $\displaystyle t = \sqrt[m]{\frac{x+a}{x-a}}$
   

3. 倒代换
   令 $\displaystyle t = \frac{1}{x+a}$，当被积函数为$x$的有理式或无理式、分母次数较高时，往往可利用倒代换消去分母中所含的因子 $x + a$ 或 $(x + a)^{n}$。

分部积分法

设 $u(x)$，$v(x)$ 具有连续导数，则有分部积分公式

或简记为：$\displaystyle \int u \mathrm{d}v = uv - \int v \mathrm{d}u$

分部积分法适用情境：

1. 函数乘积的积分。
2. 含有对数、反三角函数的积分。
3. 含有 $\mathrm{e}^x \sin x$ 函数的积分。
4. 证明递推关系式。

特殊积分方法

区域可加性

对于部分函数，尤其是含有绝对值函数的定积分，适合拆分成多个定积分，分别计算最后求和.

例如：$\displaystyle \int_{0}^{x} |\cos t| \mathrm{d}t = \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} |\cos t| \mathrm{d}t + \int_{n\pi}^{x} |\cos t| \mathrm{d}t $，其中 $ n\pi \leqslant x < (n+1)\pi $

区间再现法

对于周期函数，若知道其周期，可使用区间再现法求定积分。

例如，若 $f(x+T)=f(x)$，则有

组合积分法

如果积分式具有单对称性，可考虑构造另一个积分式，使两者的线性运算所得的积分容易求出，最后通过解方程求得原式的结果。

反函数积分法

对于一些定积分，若被积函数较复杂，而其反函数较简单，可利用定积分的几何意义：用积分区间的面积减去被积函数反函数的定积分。

常用积分

线性换元法

对于连续函数 $f(x)$：

进一步，若 $f(x)$ 关于 $\displaystyle x = \frac{a+b}{2}$ 对称，则有：

特别地，有：

沃利斯公式

进一步：

高斯积分

傅汝兰尼积分公式

设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{A}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{d}x$ 收敛，其中常数 $A > 0$，则有

柯西积分不等式

其中 $f(x)$，$g(x)$ 均为 $[a,b]$ 上的连续函数.

证明过程

定积分的应用

曲线的弧长

参数方程

确定的平面曲线的弧长 $\displaystyle s = \int_{a}^{b} \sqrt{\varphi'^{\ 2}(t) + \psi'^{\ 2}(t)} \mathrm{d}t $

极坐标方程

确定的平面曲线的弧长 $\displaystyle s = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\rho^{2}(\theta) + \rho'^{\ 2}(\theta)} \mathrm{d}\theta $

旋转体的体积

1. 截面法：曲线 $y=f(x)$ 在 $[c,d]$ 上的部分绕 $x$ 轴旋转一周所围立体的体积 $\displaystyle V = \pi \int_{c}^{d} f^{2}(x) \mathrm{d}x $

2. 柱壳法：曲线 $y=f(x)$ 在 $[c,d]$ 上的部分绕 $y$ 轴旋转一周所围立体的体积 $\displaystyle V = 2\pi \int_{c}^{d} xf(x) \mathrm{d}x $

旋转曲面的面积

曲线 $y=f(x)$ 在 $[c,d]$ 上的部分绕 $x$ 轴旋转一周所得曲面的面积 $\displaystyle S = 2\pi \int_{c}^{d} f(x)\sqrt{1+f'^{\ 2}(x)} \mathrm{d}x $

空间解析几何

向量的运算

1. 数量积

2. 向量积

3. 混合积

向量基本定理

1. 已知点 $A，B，C$，对于另一点 $O$，若 $\overrightarrow{OA} = \lambda \overrightarrow{OB} + (1-\lambda) \overrightarrow{OC}$，则点 $A，B，C$ 在同一条直线上.

2. 已知向量 $\boldsymbol{a}，\boldsymbol{b}$，则向量 $\boldsymbol{c} = \lambda \boldsymbol{a} + \mu \boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 共面.

3. 对于 $n$ 维空间，至少存在一组包含 $n$ 个线性无关的向量，使得该空间内所有的向量都可以用这一组向量表示.

用向量表示几何元素

• 角平分线：已知 $\angle AOB$，则其角平分线向量 $\displaystyle \boldsymbol{a} = \frac{\overrightarrow{OA}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|} + \frac{\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OB}\right|}$

• 中线：已知 $\triangle ABC$，则其 $BC$ 边中线向量 $\displaystyle \boldsymbol{a} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$

• 三角形的面积：已知三角形 $\triangle ABC$，则其面积 $\displaystyle S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right)$

• 平行六面体的体积：已知平行六面体其中一个顶点所连的三条边对应的向量分别为 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$， 则其体积 $V = \left| (\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c} \right|$

此方法也可用于判断三个向量是否共面：三个向量共面 $\Leftrightarrow$ 三个向量所张成的平行六面体的体积为0.

• 向量的夹角：已知向量 $\boldsymbol{a}$ 与 向量 $\boldsymbol{b}$，则其夹角 $\theta$ 满足 $\displaystyle \cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\left| \boldsymbol{a}\right| \cdot \left| \boldsymbol{b}\right|}$

用方程表示几何元素

1. 平面

2. 直线

平面束方程

对于给出一般式方程的直线

$$l:\left\{ \begin{array}{c} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{array} \right. $$

过该直线的所有平面的方程可表示为

$$ \lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_1) + \mu (A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0 $$

称为平面束方程.

3. 二次曲面

4. 旋转曲面方程
   坐标面上曲线 $\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} F(y,z) = 0 \\ x = 0 \end{array} \right.$ 绕坐标轴（如 $z$ 轴）旋转一周而成的旋转曲面方程：$F(\pm\sqrt{x^2+y^2}, z) = 0$

常见的空间几何问题

投影直线的方程

已知直线 $l: \left\{ \begin{array}{c} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{array} \right.$，求其在平面 $\varPi: Ax+By+Cz+D=0$ 上的投影直线的方程：

设平面束方程 $(A_1x+B_1y+C_1z+D_1) + \mu (A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0$，求出其方向向量 $\bm{n}_1$. 由几何性质可知，过该投影直线的平面应与 $Ax+By+Cz+D=0$ 垂直. 而目标平面法向量为 $\bm{n}_2$，由 $\bm{n}_1 \times \bm{n_2} = 0$ 可解得参数 $\mu$. 则

即为所求投影直线的方程.

空间中的距离

1. 点到平面的距离
   已知点 $M_0(x_0,y_0,z_0) \notin \varPi$，平面 $\varPi: Ax+By+Cz+D=0$，则有：

   $$d = \frac{| Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D |}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

2. 点到直线的距离
   已知点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ ，直线 $\displaystyle L: \frac{x-x_1}{m} + \frac{y-y_1}{n} + \frac{z-z_1}{p}$，$M_1(x_1,y_1,z_1) \in L$，$\bm{s}=(m,n,p)$，则有

   $$d = \frac{ |\bm{s} \times \overrightarrow{M_0 M_1} |}{| \bm{s} |}$$

3. 两条异面直线间的距离
   已知直线 $\displaystyle L_1: \frac{x-x_1}{m_1} + \frac{y-y_1}{n_1} + \frac{z-z_1}{p_1}$，直线 $\displaystyle L_2: \frac{x-x_2}{m_2} + \frac{y-y_2}{n_2} + \frac{z-z_2}{p_2}$，且两直线为异面直线，$M_1(x_1,y_1,z_1) \in L_1$，$M_2(x_2,y_2,z_2) \in L_2$. $\bm{s}_1=(m_1,n_1,p_1)$，$\bm{s}_2=(m_2,n_2,p_2)$. 则有

   $$d = \frac{|(\bm{s}_1 \times \bm{s}_2) \cdot \overrightarrow{M_1 M_2}|}{|\bm{s}_1 \times \bm{s}_2|}$$

多元函数微分学

二重极限

常用方法：

1. 四则运算法则和复合函数运算法则.
2. 等价无穷小代换.
3. 无穷小量与有界量之积为无穷小量.
4. 迫敛准则.
5. 重要极限.

全微分

1. 定义：$ \Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0) = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho) $

2. 判定：

• $ f'_x (x_0,y_0) $ 与 $ f'_y (x_0,y_0) $ 均存在.
• 证明： $$ \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{\Delta z - f'_x(x_0,y_0) \Delta x - f'_y(x_0,y_0) \Delta y}{\sqrt{\Delta x^{2} + \Delta y^{2}}} = 0 $$

3. 判断函数可微的方法：

• 不连续 $\Rightarrow$ 不可微.
• 偏导不存在 $\Rightarrow$ 不可微.
• 偏导连续 $\Rightarrow$ 可微.
• 充要条件：$$ \lim_{\substack{\Delta x \to 0 \\ \Delta y \to 0}} \frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y) - f'_x(x,y) \Delta x - f'_y(x,y) \Delta y}{\sqrt{\Delta x^{2} + \Delta y^{2}}} = 0 $$

4. 函数连续、偏导、可微的关系

• 函数连续与存在偏导数无关.
• 函数可微 $\Rightarrow$ 连续，连续不一定可微.
• 函数可微 $\Rightarrow$ 偏导数存在，偏导数存在不一定可微.
• 函数可微 $\Leftrightarrow$ 函数偏导数连续.

多元函数求导

含参变量的变限积分求导

隐函数求导

1. 由$F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$.
   (1) 公式：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F'_x}{F'_z}$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F'_y}{F'_z}$
   (2) 两边同时求偏导
   (3) 利用微分形式不变性：$F'_x \mathrm{d}x + F'_y \mathrm{d}y + F'_z \mathrm{d}z = 0$

2. 由多个函数确定

   $$\left\{ \begin{array}{c} F(x,y,u,v) = 0 \\ G(x,y,u,v) = 0 \end{array} \right.$$

   分别对等式两边求偏导，解关于 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}$ 的线性方程组.

方向导数和梯度

1. 方向导数
   (1) 定义式：

   $$ \frac{\partial f}{\partial \bm{l}} \Bigg|_{(x_0,y_0)} = \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0,y_0)}{\sqrt{\Delta x^{2} + \Delta y^{2}}} $$

   
   (2) 计算式：

   $$ \frac{\partial f}{\partial \bm{l}} \Bigg|_{(x_0,y_0)} = \frac{\partial f}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} \cos \beta $$

   其中 $\displaystyle \cos \alpha = \frac{x_0}{\sqrt{x_0^{2}+y_0^{2}}}$，$\displaystyle \cos \beta = \frac{y_0}{\sqrt{x_0^{2}+y_0^{2}}}$

2. 梯度
   

   $$\textbf{grad}z = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$$

应用

切平面和法线

已知曲面 $F(x,y,z)=0$，在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面方程为

已知曲线

在一点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的法向量 $\bm{n} = (A_1,B_1,C_1) \times (A_2,B_2,C_2)$

极值与最值

1. 无条件极值
   对于稳定点 $x_0$ （满足 $f'(x_0) = 0$），有$Hesse$ 矩阵：

   $$H = \left[ \begin{matrix} \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x_1^{2}} & \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x_1 \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x_2 \partial x_1} & \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x_2^{2}} & \cdots & \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x_n \partial x_1} & \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x_n \partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^{2}y}{\partial x_n^{2}} \\ \end{matrix} \right]$$

   若 $Hesse$ 矩阵是正定矩阵，则稳定点 $P_0$ 是极小值点.
   若 $Hesse$ 矩阵是负定矩阵，则稳定点 $P_0$ 是极大值点.
   若 $Hesse$ 矩阵是不定矩阵，则稳定点 $P_0$ 不是极值点.
   

2. 条件极值与拉格朗日乘数法
   已知函数 $F(x,y) = 0$，约束方程 $W(x,y) = 0$.
   构造拉格朗日函数 $L(x,y,\lambda) = F(x,y) + \lambda W(x,y)$，求满足方程组

   $$ \left\{\begin{array}{c} \begin{align*} L'_x &= 0 \\ L'_y &= 0 \\ L'_\lambda &= W(x,y) = 0 \end{align*} \end{array} \right. $$

   的$x,y,\lambda$，则 $F(x,y)$ 在所求的 $(x,y)$ 处存在极值.

3. 最值

多元函数积分学

重积分

二重积分

1. 积分换序

2. 坐标变换
   一般坐标变换：令 $x = x(u,v)$，$y = y(u,v)$，则

   $$\iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \iint\limits_D f(x(u,v),y(u,v)) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \mathrm{d}u \mathrm{d}v $$

   其中

   $$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \left| \begin{matrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \\ \end{matrix} \right|$$

   
   特别的，有极坐标变换：
   令 $x = \rho \cos \theta$，$y = \rho \sin \theta$，则

   $$\iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint\limits_D f(\rho \cos \theta,\rho \sin \theta) \rho \mathrm{d}\rho \mathrm{d}\theta$$

3. 轮换对称性
   若积分区域关于原点对称，则 $x$ 与 $y$ 交换位置后，积分值不变. 即

   $$\iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y = \frac{1}{2} \left( \iint\limits_D f(x,y) \mathrm{d}x \mathrm{d}y + \iint\limits_D f(y,x) \mathrm{d}y \mathrm{d}x \right)$$

三重积分

1. 先一后二： $\displaystyle \iiint\limits_\varOmega f(x,y,z) \mathrm{d}V = \iint\limits_{D_{xy}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \mathrm{d}z $

2. 先二后一：$\displaystyle \iiint\limits_\varOmega f(x,y,z) \mathrm{d}V = \int_{c}^{d} \mathrm{d}z \iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z) \mathrm{d}\sigma $

3. 球坐标变换
   令

   $$\left\{ \begin{array}{c} \begin{align*} x &= \rho \cos \theta \sin \varphi \\ y &= \rho \sin \theta \sin \varphi \\ z &= \rho \cos \varphi \end{align*} \end{array}\right.$$

   则雅可比行列式的绝对值为 $\rho^{2} \sin \theta$

重积分的应用

1. 物体的质心
   设物体的密度函数为 $\mu(x,y,z)$，则物体质心坐标为 $$\begin{array}{c} \displaystyle \overline{x} = \frac{1}{m}\iiint\limits_\varOmega x \mu(x,y,z) \mathrm{d}V \\ \\ \displaystyle \overline{y} = \frac{1}{m}\iiint\limits_\varOmega y \mu(x,y,z) \mathrm{d}V \\ \\ \displaystyle \overline{z} = \frac{1}{m}\iiint\limits_\varOmega z \mu(x,y,z) \mathrm{d}V \end{array}$$

特别地，若物体质量均匀，即 $\mu(x,y,z) = C$，则物体的质心即为物体的形心。

$$\begin{array}{c} \displaystyle \overline{x} = \iiint\limits_\varOmega x \mathrm{d}V ，\displaystyle \overline{y} = \iiint\limits_\varOmega y \mathrm{d}V ，\displaystyle \overline{z} = \iiint\limits_\varOmega z \mathrm{d}V \end{array}$$

2. 物体的转动惯量
   设物体的密度函数为 $\mu(x,y,z)$，则物体对 $x,y,z$ 轴的转动惯量分别为 $$\begin{array}{c} \displaystyle I_x = \iiint\limits_\varOmega (y^{2}+z^{2}) \mu(x,y,z) \mathrm{d}V \\ \\ \displaystyle I_y = \iiint\limits_\varOmega (x^{2}+z^{2}) \mu(x,y,z) \mathrm{d}V \\ \\ \displaystyle I_z = \iiint\limits_\varOmega (x^{2}+y^{2}) \mu(x,y,z) \mathrm{d}V \end{array} $$

线面积分

曲线积分

1. 第一类曲线积分
   对于由参数方程 $$\left\{ \begin{array}{c} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \\ \end{array} \right. t \in [a,b] $$ 确定的曲线，有 $$\int_{L} f(x,y,z) \mathrm{d}s = \int_{a}^{b} f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x'^{\ 2}(t) + y'^{\ 2}(t) + z'^{\ 2}(t)} \mathrm{d}t$$

利用第一类曲线积分求柱体侧面积

母线平行于 $z$ 轴的柱面 $S: f(x,y) = 0$ 上介于两曲线弧

$$l_1: \left\{ \begin{array}{c} z=z_1(x,y) \\ \\ f(x,y) = 0 \end{array} \right.，l_2: \left\{ \begin{array}{c} z=z_2(x,y) \\ \\ f(x,y) = 0 \end{array} \right.，z_1(x,y) \geqslant z_2(x,y)$$

之间的曲面面积为

$$S = \int_L [z_1(x,y)-z_2(x,y)] \mathrm{d}l $$

2. 第二类曲线积分
   对于由参数方程

   $$\left\{ \begin{array}{c} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \\ \end{array} \right. t \in [a,b] $$

   确定的曲线，向量值函数 $\bm{A} = P(x,y,z)\bm{i} + Q(x,y,z)\bm{j} + R(x,y,z)\bm{k} $， 有

   $$\begin{align*} \int_{L} \bm{A} \cdot \mathrm{d} \bm{r} &= \int_{L} P(x,y,z) \mathrm{d}x + \int_{L} Q(x,y,z) \mathrm{d}y + \int_{L} R(x,y,z) \mathrm{d}z \\ &= \int_{a}^{b} [P(x(t),y(t),z(t))x'(t) + Q(x(t),y(t),z(t))y'(t) \\ & \qquad + R(x(t),y(t),z(t))z'(t)] \mathrm{d}t \end{align*}$$

3. 两类曲线积分之间的联系

4. 格林公式

曲面积分

1. 第一类曲面积分（一投二代三根号）
   对于曲面 $z=z(x,y)$，有

   $$\iint\limits_{\varSigma} f(x,y,z) \mathrm{d}S = \iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1+z_x^{'\ 2}(x,y) + z_y^{'\ 2}(x,y)} \mathrm{d}\sigma $$

2. 第二类曲面积分（一投二代三符号）
   对于曲面 $z=z(x,y)$，有

   $$\begin{array}{c} \displaystyle \iint\limits_{\varSigma} R(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \pm \iint\limits_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y)) \mathrm{d}\sigma \\ \\ \displaystyle \iint\limits_{\varSigma} P(x,y,z) \mathrm{d}y\mathrm{d}z = \pm \iint\limits_{D_{yz}} P(x(y,z),y,z) \mathrm{d}\sigma \\ \\ \displaystyle \iint\limits_{\varSigma} Q(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}z = \pm \iint\limits_{D_{xz}} Q(x,y(x,z),z) \mathrm{d}\sigma \end{array}$$

   其中正负号由积分曲面的方向决定.

3. 高斯公式

三大公式

1. 格林公式

   $$\oint_{L} P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y = \iint\limits_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}\sigma $$

2. 高斯公式

   $$\oiint\limits_{\varSigma} P \mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q \mathrm{d}x\mathrm{d}z + R \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint\limits_{\varOmega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}V $$

3. 斯托克斯公式

   $$\begin{align*} \oint_{\varGamma} (P \mathrm{d}x + Q \mathrm{d}y + R \mathrm{d}z) &= \iint\limits_{\varSigma} \left[ \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathrm{d}y\mathrm{d}z + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathrm{d}z\mathrm{d}x + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y \right] \\ &= \iint\limits_{\varSigma} \left| \begin{matrix} \mathrm{d}y\mathrm{d}z & \mathrm{d}z\mathrm{d}x & \mathrm{d}x\mathrm{d}y \\\\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\\\ P & Q & R \end{matrix} \right| \end{align*}$$

级数

数项级数

数项级数收敛的条件

若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0$；反之，若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \ne 0$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 发散，

基本数项级数

正项级数收敛的判断

1. 比较判别法
   设 $\exists N$，当 $n>N$ 时，$0 \leqslant a_n \leqslant b_n$，若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散.

极限形式：对两个正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$，设 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = l$，若 $0<l<+\infty$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 同敛散.

推论：设 $a_n \geqslant 0$，$b_n \geqslant 0$，若 $n \geqslant n_0$ 时有 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leqslant \frac{b_{n+1}}{b_{n}}$，则有：若$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散.

2. 比值判别法
   设 $a_n>0$，$n=1,2,\cdots$. 当 $n \geqslant n_0$ 时，若 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \leqslant q < 1$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；若 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n} \geqslant 1$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.

极限形式：若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = q$，则当 $q<1$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；当 $q>1$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.

3. 根值判别法
   设 $a_n \geqslant 0$，若 $\exists N \in \textbf{N}$，使得 $n>N$ 时，有 $\sqrt[n]{a_n} \leqslant q < 1$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；若对无穷多个 $n$，有 $\sqrt[n]{a_n} \geqslant 1$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.

极限形式：若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = q$，则当 $q<1$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；$q>1$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.

4. 积分判别法
   设 $x \geqslant 1$ 时，$f(x) \geqslant 0$ 且单调递减，则无穷级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 与无穷积分 $\displaystyle \int_{1}^{\infty} f(x) \mathrm{d}x $ 同敛散.

5. Rabbe判别法
   设 $a_n > 0$，$n=1,2,\cdots$.
   ①若 $n > n_0$ 时，$\displaystyle n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) \leqslant 1$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.
   ②若 $n > n_0$ 时，$\displaystyle n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} - 1 \right) \geqslant r > 1$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛.

极限形式：若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right) = l$，则当 $l>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；当 $l<1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.

6. Gauss判别法
   设 $a_n > 0$，满足 $$\frac{a_n}{a_{n+1}} = 1 + \frac{1}{n} + \frac{\beta}{n \ln n} + o\left( \frac{1}{n \ln n} \right)，n \to \infty$$ 则当 $\beta > 1$ 时 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；当 $\beta < 1$ 时 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.

极限形式：若 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \ln n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}}-1 - \frac{1}{n} \right) = \beta$，则当 $\beta>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛；当 $\beta<1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.

一般级数收敛的判断

1. 莱布尼茨判别法
   设交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n$，$a_n >0$，若 $\{a_n\}$ 递减趋于0，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n$ 收敛.

2. 阿贝尔和狄利克雷判别法
   (1) 分部求和公式
   设数列 $\{ a_n \}$和 $\{ b_n \}$，记 $\displaystyle S_k = \sum_{i=1}^{k} a_i$，$S_0 = 0$，则

   $$\sum_{k=1}^{n} a_k b_k = \sum_{k=1}^{n-1}S_k(b_k-b_{k+1})+S_n b_n $$

   (2) 阿贝尔引理
   设数列 $\{b_n \}$ 单调，$\displaystyle S_k = \sum_{i=1}^{k} a_i$，若 $|S_k| \leqslant M (k=1,2,\cdots,n)$，则

   $$\left| \sum_{k=1}^{n} a_k b_k \right|\leqslant M \left(\left| b_1 \right| + 2 \left| b_n \right| \right)$$

   (3) 狄利克雷判别法
   设数列 $\{ a_n \}$和 $\{ b_n \}$，记 $\displaystyle S_k = \sum_{i=1}^{k} a_i$，若它们满足：$\{b_n\}$ 单调且 $\displaystyle b_n = 0$，$\{S_k\}$ 有界，则 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n b_n $ 收敛.
   (4) 阿贝尔判别法
   设数列 $\{ a_n \}$和 $\{ b_n \}$ 满足：$\{ b_n \}$ 单调有界，且 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n b_n $ 收敛.

幂级数

幂级数的收敛半径

对幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}$，

1. 阿贝尔定理
   若在 $x_0 \ne 0$ 处收敛，则它对一切 $\left| x \right| < \left| x_0 \right|$ 绝对收敛；
   若在 $x_1 \ne 0$ 处发散，则它对一切 $\left| x \right| > \left| x_1 \right|$ 发散；
   $R = \left| x_0 \right|$ 称为幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}$ 的收敛半径.

2. 幂级数收敛的性质
   ① $0<R<+\infty$，$\left| x \right| < R$ 时绝对收敛；$\left| x \right| > R$ 时发散.
   ② $R = +\infty$，级数在整个数轴上都绝对收敛.
   ③ $R = 0$，仅在 $x=0$ 时收敛.

3. 收敛半径公式

函数展开成幂级数

泰勒系数 $\displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$

参见：麦克劳林公式

傅里叶级数

傅里叶系数

傅里叶级数

狄利克雷收敛定理

傅里叶级数的和函数 $S(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，

微分方程

可分离变量微分方程

基本形式：

求法：将含 $x$，$y$ 的方程分别移至等式两边，再同时求积分.

一阶线性微分方程

基本形式：

通解可表示为

全微分方程

基本形式：如果存在二元函数 $\mathrm{d}\varphi(x,y) = P(x,y) \mathrm{d}x + Q(x,y) \mathrm{d}y$，则称

为全微分方程.

$P(x,y) \mathrm{d}x + Q(x,y) \mathrm{d}y = 0$ 是全微分方程的充要条件为 $ \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $

求法：

1. 凑全微分法
2. 不定积分法
3. 曲线积分法

可降阶微分方程

1. 形如 $y=f^{(n)}(x)$：积分 $n$ 次，每积分一次加一个常数.

2. 形如 $y'' = f(x,y')$：令 $\displaystyle y' = p，y'' = \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}$，即可降解为一阶微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x} = f(x,p)$.

3. 形如 $y'' = f(y,y')$：令 $\displaystyle y' = p，y'' = p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$，即可降解为一阶微分方程 $\displaystyle p \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y} = f(y,p)$.

二阶常系数线性微分方程

基本形式：

解法：

1. 解对应的特征方程

   $$\lambda^{2} + a\lambda + b = 0$$

   得出 $\lambda_1$，$\lambda_2$ 两个根.

2. 得出齐次方程通解 $y(x)$：
   (1) 若 $\lambda_1$，$\lambda_2$ 是两个互异实根，则 $y(x)=C_1\mathrm{e}^{\lambda_1 x}+C_2\mathrm{e}^{\lambda_2 x} $
   (2) 若 $\lambda_1=\lambda_2$，则 $y(x)=(C_1+C_2)\mathrm{e}^{\lambda_1 x} $
   (3) 若 $\lambda_1$，$\lambda_2$ 是一对共轭复根，即 $\lambda_{1,2} = \alpha \pm \mathrm{i}\beta $，则 $y(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x+C_2\sin \beta x) $
   

3. 求出非齐次方程的特解 $y^{*}$

4. 写出方程的通解：$y=y(x)+y^{*}$

小知识

三角公式

斐波那契数列

递推公式：$F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$，用矩阵表示为

记

则

递推得

下面计算 $\bm{A}^{n}$.

易知$\bm{A}$的特征多项式为$f(\lambda) = \lambda ^ {2} - \lambda - 1$，特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$，$\displaystyle\lambda_{2} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$，相应的特征向量分别为

令 $\bm{T} = \left[\bm{\xi}_1, \bm{\xi}_2\right]$，则

于是

最后将 $ \bm{A}^{n} $ 代入 $\boldsymbol{D}_n = \boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{D}_0$. 并注意到 $\boldsymbol{D}_0 = [1,1]^{\mathrm{T}} $ 且 $\lambda_1$ 与 $\lambda_2$ 是 $\lambda^{2} = \lambda + 1$ 的根，即得

坐标旋转变换

空间直角坐标系如果其原点不动，绕着某一个轴旋转而构成新的坐标系，这个过程就叫做坐标旋转。新旧坐标之间存在一定的转换关系，可以用旋转矩阵表示。

设坐标系 $Oxyz$ 绕 $z$ 轴逆时针（向着 $z$ 轴正方向看）旋转 $\theta$ 角，新坐标为 $(x', y', z')$。易知 $z$ 分量不变，简化为在 $xOy$ 平面讨论：

点 $M_x$ 和点 $M_{x'}$ 分别是点 $M$ 在 $x$ 轴和 $x'$ 轴下的投影。则有：

把（1）式按照三角函数展开得：

把（2）式代入（3）式得：

坐标中的 $z$ 分量不变，即 $z=z'$。这样坐标变换可写成如下形式：

将其用矩阵表示为：

其中

同理可知